10 Ejemplos Resueltos De DistribucióN Binomial

¿Qué es la Distribución Binomial?

La distribución binomial es un modelo matemático que se utiliza para calcular la probabilidad de éxito o fracaso en un experimento que se repite un número determinado de veces. En otras palabras, es una herramienta para predecir la frecuencia de un evento en un conjunto de ensayos estadísticos.

¿Cómo se Calcula la Distribución Binomial?

Para calcular la distribución binomial, es necesario conocer la probabilidad de éxito en cada ensayo y el número total de ensayos que se realizarán. A partir de ahí, se puede utilizar una fórmula matemática para calcular la probabilidad de que ocurra un número determinado de éxitos en los ensayos. La fórmula para calcular la distribución binomial es: P(X=k) = (n!/(k!(n-k)!)) p^k (1-p)^(n-k) Donde: - P(X=k) es la probabilidad de que ocurran k éxitos. - n es el número total de ensayos. - p es la probabilidad de éxito en un ensayo. - (n!/(k!(n-k)!)) es el coeficiente binomial.

10 Ejemplos Resueltos de Distribución Binomial

A continuación, se presentan 10 ejemplos resueltos de distribución binomial:

Ejemplo 1:

Se sabe que el 70% de los estudiantes de una universidad aprueban el examen de matemáticas. Si se seleccionan 10 estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 7 aprueben el examen? Solución: - p = 0.7 (probabilidad de éxito) - n = 10 (número total de ensayos) - k = 7 (número de éxitos) P(X=7) = (10!/(7!(10-7)!)) 0.7^7 (1-0.7)^(10-7) = 0.2668 La probabilidad de que exactamente 7 estudiantes aprueben el examen es del 26.68%.

Ejemplo 2:

En una fábrica de chocolates, se sabe que el 20% de los chocolates producidos son defectuosos. Si se seleccionan 15 chocolates al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 sean defectuosos? Solución: - p = 0.2 (probabilidad de éxito) - n = 15 (número total de ensayos) - k = 3, 4, 5, ..., 15 (número de éxitos) P(X>=3) = 1 - P(X<3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) = 1 - ((15!/(0!(15-0)!)) 0.2^0 (1-0.2)^(15-0) + (15!/(1!(15-1)!)) 0.2^1 (1-0.2)^(15-1) + (15!/(2!(15-2)!)) 0.2^2 (1-0.2)^(15-2)) = 0.525 La probabilidad de que al menos 3 chocolates sean defectuosos es del 52.5%.

Ejemplo 3:

En una población, el 60% de las personas tienen el cabello negro. Si se toman 5 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan el cabello negro? Solución: - p = 0.6 (probabilidad de éxito) - n = 5 (número total de ensayos) - k = 3, 4, 5 (número de éxitos) P(X>=3) = 1 - P(X<3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) = 1 - ((5!/(0!(5-0)!)) 0.6^0 (1-0.6)^(5-0) + (5!/(1!(5-1)!)) 0.6^1 (1-0.6)^(5-1) + (5!/(2!(5-2)!)) 0.6^2 (1-0.6)^(5-2)) = 0.738 La probabilidad de que al menos 3 personas tengan el cabello negro es del 73.8%.

Ejemplo 4:

En una lotería, la probabilidad de ganar el premio mayor es de 1 en 100,000. Si se venden 500,000 boletos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 personas ganen el premio mayor? Solución: - p = 0.00001 (probabilidad de éxito) - n = 500,000 (número total de ensayos) - k = 3, 4, 5, ..., 500,000 (número de éxitos) P(X>=3) = 1 - P(X<3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) = 1 - ((500,000!/(0!(500,000-0)!)) 0.00001^0 (1-0.00001)^(500,000-0) + (500,000!/(1!(500,000-1)!)) 0.00001^1 (1-0.00001)^(500,000-1) + (500,000!/(2!(500,000-2)!)) 0.00001^2 (1-0.00001)^(500,000-2)) = 0.049 La probabilidad de que al menos 3 personas ganen el premio mayor es del 4.9%.

Ejemplo 5:

En una empresa, el 40% de los empleados son mujeres. Si se seleccionan 8 empleados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 sean mujeres? Solución: - p = 0.4 (probabilidad de éxito) - n = 8 (número total de ensayos) - k = 5, 6, 7, 8 (número de éxitos) P(X>=5) = 1 - P(X<5) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)) = 1 - ((8!/(0!(8-0)!)) 0.4^0 (1-0.4)^(8-0) + (8!/(1!(8-1)!)) 0.4^1 (1-0.4)^(8-1) + (8!/(2!(8-2)!)) 0.4^2 (1-0.4)^(8-2) + (8!/(3!(8-3)!)) 0.4^3 (1-0.4)^(8-3) + (8!/(4!(8-4)!)) 0.4^4 (1-0.4)^(8-4)) = 0.590 La probabilidad de que al menos 5 empleados sean mujeres es del 59%.

Ejemplo 6:

En una ciudad, el 30% de la población tiene un seguro de vida. Si se entrevistan a 100 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 25 tengan un seguro de vida? Solución: - p = 0.3 (probabilidad de éxito) - n = 100 (número total de ensayos) - k = 25, 26, 27, ..., 100 (número de éxitos) P(X>=25) = 1 - P(X<25) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=24)) = 1 - ((100!/(0!(100-0)!)) 0.3^0 (1-0.3)^(100-0) + (100!/(1!(100-1)!)) 0.3^1 (1-0.3)^(100-1) + (100!/(2!(100-2)!)) 0.3^2 (1-0.3)^(100-2) + ... + (100!/(24!(100-24)!)) 0.3^24 (1-0.3)^(100-24)) = 0.186 La probabilidad de que al menos 25 personas tengan un seguro de vida es del 18.6%.

Ejemplo 7:

En una tienda en línea, el 5% de los pedidos son devueltos. Si se reciben

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